Mathman: متفاوتة بسيطة لـ lamacomp

إذا كان x,y أعداد حقيقية موجبة تحقق x+y=1، و n عدد صحيح موجب، فبرهن أن
$\left(1+\frac 1{x^n}\right)+\left(1+\frac 1{y^n}\right)\ge\left(2^n+1\right)^2$
البرهان:
باستخدام AM-GM نجد $\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}=\left(\frac{\underbrace{x+\cdots+x}_n+\underbrace{y+\cdots+y}_n}{2n}\right)^{2n}\ge x^ny^n$
الآن باستخدام كوشي $\left(1+\frac 1{x^n}\right)+\left(1+\frac 1{y^n}\right)\ge\left(1+\frac1{\sqrt{x^ny^n}}\right)^2\ge (1+2^n)^2$

Mathman

2009-10-03

متفاوتة بسيطة لـ lamacomp

0 التعليقات:

إرسال تعليق

من أنا

التصنيفات

الأرشيف

ملاحظات مهمة

هل محتوى المدونة يدعوك لزيارتها مجددا