Mathman: جذور نسبية.

إذا كان a,b,c أعداد نسبية موجبة، فبرهن أن:
$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\in\mathbb{Q}\Leftrightarrow \sqrt a,\sqrt b,\sqrt c\in\mathbb{Q}$
البرهان:
من المسائل الممتعة، وأهم فكرة هنا هي المنطقية التي سنتبعها لحل هذه المشكلة. المشكلة في البرهان هي في الجزء الأول.
بالتربيع نجد
$\begin{align*} &a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\in\mathbb Q\\ &\Rightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\in\mathbb Q \end{align*}$ بالتربيع مرة أخرى
$\begin{align*} &\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\in\mathbb Q\\ &\Rightarrow\sqrt{abc}\in\mathbb Q \end{align*}$ الآن:
$\begin{align*} \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}&=\sqrt a\left(\sqrt b+\sqrt c\right)+\frac{\sqrt{abc}}{\sqrt a}\\ &=\sqrt{a}\left[\left(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\right )-\sqrt a\right]+\frac{\sqrt{abc}}{\sqrt a}\\ &= \sqrt a\left[\left(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\right )-\frac{\sqrt{abc}}{a}\right]-\sqrt a\in\mathbb Q\\ &\Rightarrow \sqrt a\in\mathbb Q \end{align*}$ ويمكن إثبات البقية بنفس الطريقة! لأن البقية كلها نسبية.

Mathman

2009-10-03

جذور نسبية.

0 التعليقات:

إرسال تعليق

من أنا

التصنيفات

الأرشيف

ملاحظات مهمة

هل محتوى المدونة يدعوك لزيارتها مجددا