Mathman: جبر

2009-10-04

إذا كان x,y,z أعداد صحيحة موجبة، حل النظام:

$\begin{align*} x^3-y^3-z^3&=3xyz\\x^2&=2(y+z) \end{align*}$
البرهان:
لم أجد أفضل من برهان الأستاذ مجدي البسيط و الذي يحتاج إلى مهارة في عمليات الجبر.
$\begin{align*} (x-y-z)^3&=x^3-y^3-z^3-3xyz-3(x-y-z)(xy+yz+xz)\\ &= -3(x-y-z)(xy+yz+xz) \end{align*}$ ومنه نجد
$(x-y-z)((x+y)^2+(z+x)^2+(y-z)^2)=0$ بالتالي فإن أحد العاملين هو الصفر. لاحظ أيضا أن مجموع مربعات=0 يعني أن كل مربع =0. بالتالي فإن الحل الوحيد هو x=2,y=z=1.

برهان آخر: هو في الحقيقة حلي:
$\begin{align*} 6xyz&=2x^3-2(y^3+z^3)\\ &=2x^3-2(y+z)(y^2-yz+z^2)\\ &=x\left[2x^2-x(y^2-yz+z^2)\right]\\ &=x\left[4(y+z)-x(y^2-yz+z^2)\right] \end{align*}$ هذا يعني أن $6yz=4(y+z)-x(y^2-yz+z^2)$ ، الآن باستخدام AM-GM نجد: $\begin{align*} 6&=4\left(\frac 1y+\frac 1z\right)-x\left(\frac yz-1+\frac zy\right)\\ &\le 4\left(\frac 1y+\frac 1z\right)-x\left(2-1\right)\\ &=4\left(\frac 1y+\frac 1z\right)-x\\ &\le 4\left(\frac 1y+\frac 1z\right) \end{align*}$ وهذا لا يتحقق إلا إذا كان y,z إما 1 أو 2. بالتجريب نجد أن x=2,y=z=1.

Mathman

2009-10-14

توافيق، مجاميع، و أعداد مثلثية

2009-10-13

مجموع مضروبي

2009-10-11

هل الأسس متساوية؟

2009-10-04

تمرين أ.فوزي طه. من الأولمبياد الأمريكي

من أنا

التصنيفات

الأرشيف

ملاحظات مهمة

هل محتوى المدونة يدعوك لزيارتها مجددا