Mathman: شرح

2009-10-09

تعميم متباينة AM-GM مع بعض الحيل.

بعد أن عرفنا سابقا متباينة المتوسط الحسابي-المتوسط الهندسي، يمكننا الإنتقال إلى مرحلة أعم و أشمل ولها استعمالات كثيرة في المسائل الأولمبية.

متباينة الأوساط الأربعة: إذا كان $a_1\ldots a_n$ أعداد حقيقية موجبة فإن:
$\sqrt{\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}}\ge\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\ge\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}}$ وتتحقق المساواة عندما تتساوى المتغيرات كلها.

مع أن السابقة حالة خاصة أيضا، إلا أنها أسهل استخداما، وكذلك فهي مهمة. المتباينة التالية هي أيضا تعميم للسابقة (يبدو أنك مللت التعاميم :) ) متباينة الأوساط: إذا كان $a_1\ldots a_n$ أعداد حقيقية موجبة و كان: $M_n^p= \left\{\begin{matrix} \left(\cfrac{a_1^p+\cdots+a_n^p}{n}\right)^{1/p} & p\ne 0\\ \sqrt[p]{a_1\cdots a_n}&p=0 \end{matrix}\right. \qquad p\in\mathbb{Z}$ فإن $M_n^r\ge M_n^s$ لكل $r\ge s$ حيث r,s أعداد صحيحة.

لا أنكر أن المتباينة السابقة ذات استخدام نادر. حاليا، لا يحضرني متباينة تستخدم أي من الإثنتين، لكنك إن دخلت هذا العلم ستجد تطبيقاتها منتشرة جدا. يمكن تعيمها مرة أخرى لتصبح
متباينة الأوساط المعممة: بنفس الشروط نجد $w_1a_1+\cdots +w_na_n\ge a_1^{w_1}\cdots a_n^{w_n}$ حيث $w_1+\cdots +w_n=1$ . أحد تطبيقات هذه المسألة تجدها هنا.

تلك متباينات على طالب الأولمبياد أن يعيها، لكن المشكلة ليست في عدد النظريات و الحقائق التي تعرفها، العبرة في كيفية استخدامها و التحكم بها لصالحك، هذه أهم نقطة في استخدام تلك المتباينات.

جمعت لك من خلال خبرتي البسيطة بعض طرق استخدامها و توظيفها لتحقيق المطلوب.

1- إستخدم عملية الجمع! أقصد إن وجدت مثل هذه المسألة (abc=1) $\begin{align*}\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}&+\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}\\&+\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}\ge\frac 34\end{align*}$ لاحظ إنه لو استخدمت المتباينة بشكل مباشر، فإنك لن تصل إلا نتيجة، بالتالي نحاول التخلص من المقامات بحركة الجمع، وهي $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge \frac{3}{4}a$ بنفس الطريقة نجد أننا نقترب من الحل، حيث أننا نقوم بعمل نفس الطريقة للحدود الثلاثة، ثم نجمعها و نحصل على متباينة جديدة توصل إلى الحل. أيضا هذه المتباينة التي سبق شرحها $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac$ (جربها بنفسك).

2- الإختيار الجيد للمتغيرات. إختيار المتغيرات بشكل جيد هي الأكثر أهمية، وهذه تكتسب بالخبرة، ولا تنس: إن كان لديك كسر فإنه يقل (قيمة) كلما كبر المقام، بمعنى أنك تستطيع تكبر الكسر بتصغير المقام و العكس صحيح، حيث أن الكثير يخطأ في هذه الملاحظة في البداية.

3- طريقة كوشي شواز: طريقة عكسية مفيدة جدا، فمثلا (a+b+c=3)
$\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}$ نعمل على التالي:
$\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$ و عمل هذا لجميع الحدود يقربك من الحل. فكرة هذه الطريقة أنك إن لم تكن تستطيع استخدام متباينة الوسط الحسابي-الوسط الهندسي فعليك تحويل الكسر إلى سالب ثم استعمالها للمقام (إذا كان الكسر كلما قل المقام قل قيمة).

4- معرفة المساواة! معرفة المساواة هي مهمة جدا! فمثلا في المسألة السابقة (abc=1): $\begin{align*}\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}&+\frac{b^3}{(c+1)(a+1)}\\&+\frac{c^3}{(a+1)(b+1)}\ge\frac 34\end{align*}$ واضح أن المساواة تحدث عند a=b=c=1، وهذا ما جعلنا نبتعد عن استخدام $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+(b+1)+(c+1)\ge 3a$ لأن المساواة لن تتحقق أبدا فنكون نبحث في دائرة مغلقة. بالتالي البعض يحل أنظمة من المعادلات للتأكد من صحة الخطوة، لذا عليك التحقق متى ستحدث المساواة عند كل خطوة.

5- يجب أن يكون لديك خلفية لا بأس بها في العمليات الجبرية و المتطابقات، معرفتها يسهل عليك تحويل المتباينة إلى صورة أخرى، وأحيانا الإستفادة من الشرط المعطى (إن كان لديك شرط في السؤال)، وستستزيد منها حسب خبرتك في المتباينات و المعادلات و نظرية العدد و العمليات الجبرية!

6- الاستمرار في الحل.

سأتكلم عن كل نقطة عندما تسنح الفرصة في مشاركة جديدة بإذن الله، حاول أن تحل ما سبق.

2009-10-01

متباينة الوسط الحسابي- الوسط الهندسي.

هذه المتباينة هي أشهر المتباينات و أول متباينة يتدرب عليها الطالب الأولمبي (بعد متباينة مجموع المربعات)، وتعد واحدة من أهم المتباينات و أكثرها استخداما، و تسمى متباينة الوسط الحسابي - الوسط الهندسي ، وتختصر AM-GM و هذه الحروف أتت من الكلمات (Arithmetic Mean and Geometric Mean) وحيث أن المتوسط الحسابي للعددين a,b هو $\frac{a+b}{2}$ بينما يكون المتوسط الهندسي لهما هو $\sqrt{ab}$ . الصورة الأبسط للمتباينة تكون :

متباينة AM-GM الأساسية: إذا كان a,b أعدادا حقيقية موجبة فإن:

$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$

وتتحقق المساواة إذا و فقط إذا كان a=b.

البرهان: المتباينة تكافئ تماما:

$\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2\ge0$

وهي صحيحة لأن أي مربع أكبر من الصفر. ومن الواضح أن المساواة تتحقق عندما a=b فقط.

لهذه المتباينة الأثر الكبير في المتباينات الأخرى (حتى تعميمها)، نتعرض لهذا المثال الشهير، وهو أيضا مفيد لحل متباينات أولمبية أخرى.

مثال 1: إذا كان a,b,c أعداد حقيقية موجبة، فبرهن أن:

$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac$

البرهان:

$\left.\begin{matrix} a^2+b^2\ge 2ab\\ b^2+c^2\ge 2bc\\ c^2+a^2\ge 2ca \end{matrix}\right\} \Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ac)$

وبالقسمة على 2 ينتج المطلوب مباشرة.

برهان آخر: في الحقيقة هو يمكن استنتاجه من البرهان الأول (لماذا؟)

$\begin{align*}a^2+b^2+c^2&\ge ab+bc+ac\\\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2&\ge 2ab+2bc+2ac\\\Leftrightarrow(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2&\ge 0\end{align*}$

والعبارة الأخيرة صحيحة لأنها عبارة عن مجموع مربعات.

الآن نأتي للتعميم، تعميم نظرية AM-GM سهل و بسيط، و بدل أن يكون لدينا متغيرين، سيكون لدينا n من المتغيرات.

متباينة AM-GM المعممة: إذا كان $a_1,a_2,\ldots a_n$ أعداد حقيقية موجبة، فإن

$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$

والمساواة تتحقق عندما $a_1=a_2=\ldots=a_n$ .

البرهان: لطوله، سأضع فقط هذا الرابط لموسوعة ويكيبيديا.

مثال 2: إذا كان a,b,c أعداد حقيقية غير سالبة، فبرهن أن
$(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc$ البرهان: ببساطة
$(a+b)(b+c)(c+a)\ge \left(2\sqrt{ab}\right)\left(2\sqrt{bc}\right)\left(2\sqrt{ac}\right)=8abc$ وهو المطلوب.

أحيانا تحتاج المسألة لأكثر من الحل المباشر.

مثال 3: إذا كان a,b,c أعداد حقيقية موجبة، فبرهن أن
$\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}\ge a+b+c$
البرهان: واضح أن الحل المباشر لا يأتي بنتيجة أبدا، لأنه يعطي حدا واحدا، بينما في الطرف الأيمن يوجد 3 حدود، لذا سنستخدم المتباينة 3 مرات لإنتاج كل حد على الطرف الأيمن.
$\left. \begin{align*}\frac{a^3}{bc}+b+c&\ge 3a\\\frac{b^3}{ca}+c+a&\ge 3b\\\frac{c^3}{ab}+a+b&\ge 3c\end{align*}\right\}\\\Rightarrow \frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac}+\frac{c^3}{ab}+2(a+b+c)\ge 3(a+b+c)$ وينتج المطلوب مباشرة.

خذ المسائل التالية على شكل تمارين.