إذا كان
x,y,z أعداد صحيحة موجبة، حل النظام:
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Balign*%7D&space;x%5E3-y%5E3-z%5E3&=3xyz%5C%5Cx%5E2&=2%28y+z%29&space;%5Cend%7Balign*%7D)
البرهان:
لم أجد أفضل من برهان الأستاذ مجدي البسيط و الذي يحتاج إلى مهارة في عمليات الجبر.
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Balign*%7D&space;%28x-y-z%29%5E3&=x%5E3-y%5E3-z%5E3-3xyz-3%28x-y-z%29%28xy+yz+xz%29%5C%5C&space;&=&space;-3%28x-y-z%29%28xy+yz+xz%29&space;%5Cend%7Balign*%7D)
ومنه نجد
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28x-y-z%29%28%28x+y%29%5E2+%28z+x%29%5E2+%28y-z%29%5E2%29=0)
بالتالي فإن أحد العاملين هو الصفر. لاحظ أيضا أن مجموع مربعات=0 يعني أن كل مربع =0. بالتالي فإن الحل الوحيد هو
x=2,y=z=1.
برهان آخر: هو في الحقيقة حلي:
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Balign*%7D&space;6xyz&=2x%5E3-2%28y%5E3+z%5E3%29%5C%5C&space;&=2x%5E3-2%28y+z%29%28y%5E2-yz+z%5E2%29%5C%5C&space;&=x%5Cleft[2x%5E2-x%28y%5E2-yz+z%5E2%29%5Cright]%5C%5C&space;&=x%5Cleft[4%28y+z%29-x%28y%5E2-yz+z%5E2%29%5Cright]&space;%5Cend%7Balign*%7D)
هذا يعني أن
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?6yz=4%28y+z%29-x%28y%5E2-yz+z%5E2%29)
، الآن باستخدام AM-GM نجد:
![](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Balign*%7D&space;6&=4%5Cleft%28%5Cfrac&space;1y+%5Cfrac&space;1z%5Cright%29-x%5Cleft%28%5Cfrac&space;yz-1+%5Cfrac&space;zy%5Cright%29%5C%5C&space;&%5Cle&space;4%5Cleft%28%5Cfrac&space;1y+%5Cfrac&space;1z%5Cright%29-x%5Cleft%282-1%5Cright%29%5C%5C&space;&=4%5Cleft%28%5Cfrac&space;1y+%5Cfrac&space;1z%5Cright%29-x%5C%5C&space;&%5Cle&space;4%5Cleft%28%5Cfrac&space;1y+%5Cfrac&space;1z%5Cright%29&space;%5Cend%7Balign*%7D)
وهذا لا يتحقق إلا إذا كان y,z إما 1 أو 2. بالتجريب نجد أن
x=2,y=z=1.
0 التعليقات:
إرسال تعليق