تمرين أ.فوزي طه. من الأولمبياد الأمريكي

إذا كان x,y,z أعداد صحيحة موجبة، حل النظام:

البرهان:
لم أجد أفضل من برهان الأستاذ مجدي البسيط و الذي يحتاج إلى مهارة في عمليات الجبر.
ومنه نجد
بالتالي فإن أحد العاملين هو الصفر. لاحظ أيضا أن مجموع مربعات=0 يعني أن كل مربع =0. بالتالي فإن الحل الوحيد هو x=2,y=z=1.

برهان آخر: هو في الحقيقة حلي:
هذا يعني أن ، الآن باستخدام AM-GM نجد:وهذا لا يتحقق إلا إذا كان y,z إما 1 أو 2. بالتجريب نجد أن x=2,y=z=1.